Τα προβλήματα του Χίλμπερτ στο μικροσκόπιο

Δύσκολα _έως ασύλληπτα, για όσες\ους δεν είναι εξοικειωμένοι με μαθηματικές έννοιες τα λεγόμενα προβλήματα του Χίλμπερτ αποτελούν μια λίστα από 23 προβλήματα στα μαθηματικά τα οποία εκδόθηκαν από τον Γερμανό μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert). Τα προβλήματα ήταν όλα άλυτα εκείνη την περίοδο, και πολλά από αυτά είχαν μεγάλη επιρροή στους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Ο Χίλμπερτ παρουσίασε 10 από αυτά (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 και 22) όταν ήταν ομιλητής στο 2^ο διεθνές συνέδριο μαθηματικών του Παρισιού (8-Αυγ-1900 στη Σορβόνη). Η πλήρης λίστα με τα 23 προβλήματα δημοσιεύθηκε αργότερα, με πιο σημαντική τη μετάφραση της το 1902 από τη Μαρί Φρανσέ Ουίνστον Νίουσον στο Περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας.

Λύθηκε μαθηματικό πρόβλημα
125 ετών με ενοποίηση 3 θεωριών της Φυσικής

Μια εντυπωσιακή πρόοδος σημειώθηκε στον χώρο των Θετικών Επιστημών, καθώς τρεις διακεκριμένοι ερευνητές (ισχυρίζονται πως) κατάφεραν να ενοποιήσουν τρεις βασικές θεωρίες που περιγράφουν την κίνηση των ρευστών. Η ανακάλυψη αυτή έρχεται να δώσει νέα πνοή στο έκτο πρόβλημα του David Hilbert, ενός από τα πιο φιλόδοξα αξιώματα ενός εκ των κορυφαίων μαθηματικών του 20ού αιώνα. Περισσότερο από έναν αιώνα αργότερα, τρεις μαθηματικοί, οι Yu Deng (Πανεπιστήμιο του Σικάγου), Zaher Hani και Xiao Ma (Μίσιγκαν), φαίνεται πως σημείωσαν ένα τεράστιο βήμα προς αυτή την κατεύθυνση, ενοποιώντας τρεις διακριτές θεωρίες για τα ρευστά σε ένα κοινό μαθηματικό πλαίσιο. Το επίτευγμά τους ενδέχεται να σηματοδοτήσει μια σημαντική πρόοδο στην προσπάθεια σύνδεσης μικρόκοσμου και μακρόκοσμου μέσω της μαθηματικής γλώσσας.

Τρεις θεωρίες, ένα φαινόμενο

Η ροή των ρευστών, είτε πρόκειται για νερό, αέρα ή άλλα υγρά μέσα, περιγράφεται από τρεις επίπεδα φυσικών θεωριών:

·     Μικροσκοπικό επίπεδο: Η φυσική περιγράφει τη συμπεριφορά μεμονωμένων σωματιδίων, σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα.

·     Μεσοσκοπικό επίπεδο: Η προσέγγιση αλλάζει σε στατιστική, με τον Boltzmann να προτείνει το 1872 μια εξίσωση που περιγράφει την πιθανή συμπεριφορά ενός «τυπικού» σωματιδίου.

·     Μακροσκοπικό επίπεδο: Οι ρευστομηχανικές εξισώσεις των Euler και Navier-Stokes περιγράφουν το ρευστό ως συνεχές μέσο, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα σωματίδια.

Κάθε θεωρία αποτελεί διαφορετική «οπτική» της ίδιας πραγματικότητας: πώς κινούνται τα ρευστά. Ωστόσο, η μαθηματική σύνδεση αυτών των επιπέδων, το να αποδειχθεί πως η μία θεωρία προκύπτει από την άλλη, παρέμενε έως τώρα ένα άλυτο πρόβλημα.

Η ενοποίηση: Από τα σωματίδια στο συνεχές ρευστό

Οι Deng, Hani και Ma κατάφεραν να «ράψουν» μεταξύ τους τις τρεις θεωρίες, ξεκινώντας από το μικροσκοπικό επίπεδο και φτάνοντας στο μακροσκοπικό. Ουσιαστικά, απέδειξαν ότι:

·     Οι νόμοι του Νεύτωνα, όταν εφαρμοστούν σε τεράστιο αριθμό σωματιδίων με μηδενικό μέγεθος, οδηγούν στατιστικά στην εξίσωση Boltzmann.

·     Η εξίσωση Boltzmann, με τη σειρά της, οδηγεί στις μακροσκοπικές εξισώσεις των Euler και Navier-Stokes.

Αν και η δεύτερη μετάβαση ήταν γνωστή στο παρελθόν (και μάλιστα είχε απασχολήσει και τον ίδιο τον Hilbert), η μετάβαση από το μικροσκοπικό στο μεσοσκοπικό επίπεδο παρέμενε εξαιρετικά δύσκολη, ιδιαίτερα για μεγάλες χρονικές περιόδους. Μέχρι τώρα, οι αποδείξεις λειτουργούσαν μόνο για σύντομες χρονικές κλίμακες, κάτι που περιορίζει την πρακτική εφαρμογή τους.

Η πρωτοπορία της νέας απόδειξης έγκειται στην ικανότητα μοντελοποίησης του συστήματος για μεγάλες χρονικές περιόδους, όπου η συσσωρευμένη επίδραση των συγκρούσεων μεταξύ σωματιδίων γίνεται πολύπλοκη. Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν καινοτόμες τεχνικές μαθηματικής ανάλυσης για να αποδείξουν ότι οι παρελθούσες αλληλεπιδράσεις ενός σωματιδίου έχουν περιορισμένο αντίκτυπο στη μελλοντική του συμπεριφορά.

           Ένα βήμα πιο κοντά στο όραμα του Hilbert

Η σημασία της ενοποίησης δεν είναι μόνο θεωρητική. Ενισχύει τη βασική εμπιστοσύνη των επιστημόνων ότι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται καθημερινά για σχεδίαση αεροσκαφών, πρόβλεψη καιρού ή μελέτες περιβαλλοντικής ροής έχουν ισχυρό θεμέλιο. Ακόμη πιο σημαντικό, όμως, είναι ότι αυτό το αποτέλεσμα προσεγγίζει μια καθαρά μαθηματική ερμηνεία της φυσικής, ακριβώς όπως ο Hilbert είχε οραματιστεί.

Εάν η απόδειξη επαληθευτεί από την επιστημονική κοινότητα, τότε δεν πρόκειται μόνο για τεχνική νίκη — αλλά για ιστορικό σταθμό στην πορεία προς την ενοποίηση της φυσικής και των μαθηματικών. Ένα ακόμη πρόβλημα του Hilbert φαίνεται να λύνει τα δεσμά του, δείχνοντας ότι με επιμονή και δημιουργικότητα, ακόμη και τα πιο αφηρημένα οράματα μπορούν να αποκτήσουν υπόσταση.

Πηγή

Τα 23 προβλήματα του Hilbert
 David Hilbert Legacy

Σήμερα, 125 χρόνια από την ιστορική ομιλία _που ήδη προαναφέραμε, ορισμένα από τα προβλήματα, τα οποία αναφέρονται συνήθως με αριθμό, έχουν λυθεί, κάποια επαναδιατυπώθηκαν και μερικά είναι ακόμα ανοιχτά, όμως το πιο σημαντικό είναι ότι υποκίνησαν την καινοτομία και τη γενίκευση. Τα βραβεία Millennium του Ινστιτούτου Clay Mathematics είναι μια εκδοχή του 21^ου αιώνα της αρχικής πρότασης του σπουδαίου Hilbert.
Ο Hilbert γεννήθηκε και μεγάλωσε στο Königsberg της ανατολικής Πρωσίας (σημερινό Kalinigrad της Ρωσίας) και αποτέλεσε έναν από τους πιο χαρισματικούς επιστήμονες με ευρείες γνώσεις στους περισσότερους τομείς των μαθηματικών. Υποστήριζε ότι κάθε μαθηματικό πρόβλημα έπρεπε ή να έχει λύση ή απόδειξη ότι είναι αδύνατο.
Η παρουσίαση των 23 άλυτων προβλημάτων εκείνης της εποχής έχει μείνει στην ιστορία των Μαθηματικών και ανάλογη δεν έχει επαναληφθεί μέχρι σήμερα.

Ο Hilbert ξεκίνησε την ομιλία του με έναν μεγάλο πρόλογο θέτοντας κάποιες ερωτήσεις στη μαθηματική κοινότητα: "Ποιος από εμάς δεν θα ήταν ευτυχής να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο βρίσκεται κρυμμένο το μέλλον; Να ρίξει μια ματιά στην επερχόμενη πρόοδο της επιστήμης και να μάθει τα μυστικά αυτής της ανάπτυξης στους επόμενους αιώνες; Να μάθει ποιοι θα είναι οι συγκεκριμένοι στόχοι προς τους οποίους οι κορυφαίες μαθηματικές διάνοιες των επερχόμενων γενεών θα στρέψουν τις προσπάθειές τους; Ποιες νέες μέθοδοι και νέες αλήθειες από το ευρύ και πλούσιο φάσμα των μαθηματικών σκέψεων θα αποκαλυφθούν στους επόμενους αιώνες;" Τα προβλήματα, όπως χαρακτηριστικά είπε, αποτελούν την ένδειξη ότι ένας επιστημονικός κλάδος είναι ζωντανός!

1. Το πρόβλημα του Cantor για τους πληθικούς αριθμούς του συνεχούς. Η υπόθεση του συνεχούς.
Το πρώτο πρόβλημα στο οποίο αναφέρθηκε ο Hilbert ήταν του Georg Cantor (1845-1918) από τον κλάδο της Θεωρίας Συνόλων. Ο Cantor είχε εισαγάγει την έννοια του πληθάριθμου προκειμένου να συγκρίνει το μέγεθος των άπειρων συνόλων, αποδεικνύοντας ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει μικρότερο πληθάριθμο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με τον τρόπο αυτό εισήγαγε την υπόθεση του συνεχούς, με την οποία υποστήριζε ότι δεν υπάρχει σύνολο που να έχει πληθάριθμο μεταξύ αυτού των φυσικών αριθμών και αυτού των πραγματικών αριθμών. Ο Cantor προσπαθούσε πολλά χρόνια να το αποδείξει χωρίς επιτυχία και ο Hilbert το επανέφερε.  Με τη βοήθεια του Kurt Gödel το 1938 και του Paul Cohen το 1963 αποδείχθηκε τελικά ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να μην αποδειχθεί η υπόθεση του συνεχούς με βάση τα αξιώματα της Θεωρίας Συνόλων.

2. Η συνέπεια των αξιωμάτων της Αριθμητικής
Με το 2^ο πρόβλημα του ο Hilbert ζήτησε να απαλειφθεί κάθε ενδεχόμενο αντιφάσεων στα Μαθηματικά. Και ενώ η βασική του επιδίωξη ήταν μια απόδειξη ότι τα αξιώματα της Αριθμητικής έχουν συνέπεια, το 1933 ο Kurt Gödel με το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας αποδεικνύει το αντίθετο, δηλαδή ότι καμία θεωρία δεν είναι αρκετά ισχυρή ώστε να αποδείξει τη συνέπειά της. Ο Hilbert μέχρι το θάνατό του δεν έδωσε καμία απάντηση σε αυτό.

3. Η ισότητα των όγκων δύο τετραέδρων με ίσες βάσεις και ίσα ύψη
Ίσως το πιο απλό πρόβλημα από τα υπόλοιπα με αναφορές στον Ευκλείδη και την επιδίωξη μιας αυστηρής απόδειξης της αδυναμίας να λυθεί το συγκεκριμένο πρόβλημα. Η αρνητική απάντηση δόθηκε την ίδια χρονιά από τον Max Dehn.

4. Το πρόβλημα της ευθείας γραμμής ως τη μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων (εναλλακτικές γεωμετρίες)
Το συγκεκριμένο πρόβλημα θεωρήθηκε από πολλούς ότι δεν ήταν σαφώς διατυπωμένο και επομένως δεν μπορούσε να πάρει μια σαφή απάντηση.

5. Η αρχή του Lie για συνεχείς ομάδες μετασχηματισμών χωρίς την υπόθεση της διαφορισιμότητας των συναρτήσεων που ορίζουν τις ομάδες
Ο Νορβηγός μαθηματικός Marius Sophus Lie (1842 - 1899) δημιούργησε σε μεγάλο βαθμό τη θεωρία της συνεχούς συμμετρίας και την εφάρμοσε στη μελέτη της γεωμετρίας και των διαφορικών εξισώσεων. Στη θεμελίωση της θεωρίας του υπέθεσε ότι οι συναρτήσεις που ορίζουν τις ομάδες του είναι διαφορίσιμες. Το ερώτημα του Hilbert ήταν αν μπορεί να αποφευχθεί η υπόθεση της διαφορισιμότητας και το 1952 δόθηκε τελικά θετική απάντηση από τον Andrew Gleason.

6. Η αξιωματικοποίηση της Μαθηματικής Φυσικής
Για το συγκεκριμένο πρόβλημα υπήρχε _μετά από όσα αναφέραμε και σχετικά με την «επίλυση», η εξής πρόοδος:
👉 της Κλασικής Μηχανικής το 1903 από τον Georg Hamel.
👉 της Θερμοδυναμικής το 1909 από τον Κ. Καραθεοδωρή __σσ. Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Βερολίνο, 13-Σεπ-1873 – Μόναχο, 2-Φεβ-1950) ήταν ελληνικής καταγωγής μαθηματικός που διακρίθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο _γνωστός εκτός Ελλάδας ως Constantin Carathéodory και συχνά αναφέρεται και ως Καραθεοδωρής. Το επιστημονικό του έργο επεκτείνεται σε πολλούς τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Αρχαιολογίας. Είχε σημαντικότατη συνεισφορά ιδιαίτερα στους τομείς της πραγματικής ανάλυσης, συναρτησιακής ανάλυσης και θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης. Τα περισσότερα έργα του τα έγραψε στα γερμανικά.
👉 της Ειδικής Σχετικότητας το 1914 από τον Robb και το 1924 από τον Καραθεοδωρή.
👉 της Θεωρίας Πιθανοτήτων το 1930 από τον Kolmogorov.
👉 της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου στα τέλη της δεκαετίας του 1950 από τον Whiteman.

7. Η αρρητότητα και η υπερβατικότητα κάποιων συγκεκριμένων αριθμών
Ο Hilbert έθεσε το ερώτημα αν μια εκθετική παράσταση με αλγεβρική βάση και άρρητο αλγεβρικό εκθέτη παριστάνει πάντα έναν υπερβατικό ή τουλάχιστον έναν άρρητο αριθμό. Θετική απάντηση στο πρόβλημα αυτό δόθηκε για πρώτη φορά το 1934.

8. Προβλήματα πρώτων αριθμών (η κατανομή των πρώτων αριθμών και η υπόθεση Riemann) G. F. Bernhard Riemann: επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών Από τα πιο γνωστά προβλήματα το οποίο παραμένει άλυτο μέχρι και σήμερα. Η υπόθεση αυτή εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 1859 στην εργασία του Bernhard Riemann (1826 - 1866) με τίτλο "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse".

9. Η απόδειξη του γενικότερου Νόμου της Αντιστροφής σε κάθε αριθμητικό σώμα
Μερική λύση του προβλήματος αυτού δόθηκε το 1923 από τον Emil Artin.

10. Καθορισμός της επιλυσιμότητας μιας Διοφαντικής Εξίσωσης
Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο Hilbert έθεσε το ζήτημα για το αν υπάρχει τελικά διαδικασία εύρεσης ακέραιων ριζών μιας οποιασδήποτε διοφαντικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων. Το πρόβλημα απαντήθηκε το 1970 όταν ο Yuri Matiyasevich απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος. Η απόδειξη αυτής της "αδυνατότητας" αποτελεί και το κύριο αντικείμενο του παρακάτω βιβλίου, το οποίο συνοδεύεται και από πολλές εφαρμογές της τεχνικής που επινοήθηκε για την επίλυση του 10ου προβλήματος. Μετά την αρχική έκδοση του 1993, το βιβλίο κυκλοφόρησε στα ελληνικά το 2022 από τις εκδόσεις Ευρύαλος - Απόλλων αποτελώντας το πληρέστερο σύγγραμμα παγκοσμίως επί του θέματος.

11. Τετραγωνικές μορφές με τυχαίους αλγεβρικούς συντελεστές _Το πρόβλημα διατυπώθηκε ως εξής: Με δεδομένη μια τετραγωνική εξίσωση με αλγεβρικούς συντελεστές και οποιοδήποτε πλήθος μεταβλητών, να υπολογιστούν οι ακέραιες ή κλασματικές λύσεις, οι οποίες ανήκουν στο αλγεβρικό σύνολο που ορίζουν οι συντελεστές της. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε το 1924 από τον Hasse για τους ρητούς αριθμούς και το 1930 από τον Siegel για τους ακέραιους.

12. Επέκταση του θεωρήματος του Kronecker για τα αβελιανά σώματα σε οποιοδήποτε ρητό αλγεβρικό σύνολο
Ο Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecker (1823 - 1891) ασχολήθηκε με τη θεωρία αριθμών, την άλγεβρα και τη λογική. Το 1853 διατύπωσε το θεώρημα Κρόνεκερ - Βέμπερ, αν και δεν έδωσε ολοκληρωμένη απόδειξη (αποδείχθηκε πλήρως αργότερα από τον Hilbert). Μελέτησε επίσης τις ελλειπτικές συναρτήσεις και διατύπωσε την εικασία liebster jugendraum (το αγαπημένο όνειρο της νεολαίας), μια γενίκευση που διατυπώθηκε αργότερα ως το 12^ο πρόβλημα της λίστας. Η λύση δόθηκε το 1920 από τον Takagi με τη δημιουργία της θεωρίας Αβελιανών Σωμάτων.

13. Αδυναμία λύσης της γενικής εξίσωσης 7^ου βαθμού θεωρώντας συναρτήσεις δύο μόνο μεταβλητών Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τους Andrei Kolmogorov και Vladimir Arnold το 1957.

14. Απόδειξη ότι ορισμένα πλήρη συστήματα συναρτήσεων είναι πεπερασμένα _Λύθηκε το 1962 από τον Masayoshi Nagata.

15. Αυστηρή θεμελίωση της αριθμητικής γεωμετρίας του Schubert
Η αριθμητική γεωμετρία αποτελεί κλάδο της αλγεβρικής γεωμετρίας που ασχολείται με την καταμέτρηση αριθμών λύσεων σε γεωμετρικά ερωτήματα. Ως κλάδος των μαθηματικών γνώρισε θεαματική ανάπτυξη προς τα τέλη του 19ου αιώνα, στα χέρια του Γερμανού μαθηματικού Hermann Schubert (1848 - 1911).
Το 15^ο πρόβλημα του Hilbert αφορούσε το συγκεκριμένο κλάδο γενικεύοντας ένα θεμελιώδες ερώτημα του λογισμού Schubert, ενώ μια αυστηρά μαθηματική θεωρία δόθηκε το 1930 από τον Van Der Waerden.

16. Πρόβλημα στην τοπολογία των αλγεβρικών καμπύλων και επιφανειών _Χωρίζεται σε δύο επιμέρους προβλήματα. Το πρώτο ζητά να ερευνηθούν οι σχετικές θέσεις των κλάδων των αλγεβρικών καμπύλων βαθμού n και το δεύτερο ζητά να καθοριστεί άνω φράγμα για τον αριθμό των οριακών κύκλων σε πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα βαθμού n.
Όσον αφορά το πρώτο τα καλύτερα αποτελέσματα δόθηκαν το 1996, ενώ όσον αφορά το δεύτερο δόθηκαν μερικά αποτελέσματα το 1990.

17. Παράσταση ορισμένων μορφών ως αθροίσματα τετραγώνων: Μπορεί κάθε πολυώνυμο πολλών μεταβλητών το οποίο παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές στο σύνολο των πραγματικών να παρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων ρητών συναρτήσεων;
Λύσεις δόθηκαν το 1927 από τον Emil Artin, το 1967 από τον A. Pfister και η αρνητική λύση στη γενική περίπτωση το 1967 από τον D.W. Dubois.

18. Διαμέριση του χώρου σε ίσα πολύεδρα _Η τελική λύση δόθηκε στο τέλος του 20ου αιώνα με τη βοήθεια υπολογιστών.

19. Είναι πάντα οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του Λογισμού Μεταβολών αναγκαστικά αναλυτικές; Λύθηκε το 1904 για πρώτη φορά από τον Serge Bernstein.

20. Το γενικό πρόβλημα των οριακών τιμών _Στο πρόβλημα αυτό ο Hilbert διερωτάται αν όλα τα προβλήματα μεταβολών με συνοριακές συνθήκες έχουν λύσεις, καθώς είχε παρατηρήσει ότι υπήρχαν μέθοδοι για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπου οι τιμές της συνάρτησης δίνονταν στο σύνορο.

21. Απόδειξη της ύπαρξης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που να έχουν προκαθορισμένη μονοδρομική ομάδα _Δόθηκε αρνητική απάντηση το 1994 από τους Anasov και Bolibrukh.

22. Ομογενοποίηση των αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτομορφικών συναρτήσεων Λύθηκε το 1907 από τον Paul Koebe και ανεξάρτητα το 1907 από τον Henri Poincaré.

23. Περαιτέρω ανάπτυξη των μεθόδων του Λογισμού Μεταβολών _Το συγκεκριμένο πρόβλημα αποτελεί ουσιαστικά μια παρότρυνση του Hilbert προς την μαθηματική κοινότητα να ασχοληθεί με τον Λογισμό Μεταβολών, έναν κλάδο των μαθηματικών που μέχρι εκείνη τη στιγμή δεν είχε τύχει γενικής εκτίμησης.
Η πλήρης λίστα με τα 23 προβλήματα δημοσιεύθηκε το 1902 στο περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας. Ο Hilbert αρχικά συμπεριέλαβε 24 προβλήματα στη λίστα του, αλλά αργότερα αποφάσισε να μην δημοσιεύσει το ένα από αυτά. Το "24^ο πρόβλημα" ανακαλύφθηκε το 2000 στα προσωπικά του χειρόγραφα.

Η μαγεία των μαθηματικών και η Laura Bassi

1778 _σαν σήμερα πέθανε η Λάουρα (Μαρία Κατερίνα) Μπάσσι, Ιταλίδα φυσικός, ανατόμος και ακαδημαϊκός (Laura Maria Caterina Bassi, γεννήθηκε στη Μπολόνια, που τότε ανήκε στα Παπικά Κράτη 31-Οκτ-1711), που θεωρείται ως η πρώτη γυναίκα στην ιστορία της ανθρωπότητας που κατείχε πανεπιστημιακή έδρα σε κάποια φυσική επιστήμη. Απέκτησε διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο της Μπολόνια το 1732 και αυτό ήταν το δεύτερο διδακτορικό που δόθηκε ποτέ σε γυναίκα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο. Γενικότερα, ήταν η πρώτη γυναίκα στην οποία δόθηκε επίσημη θέση διδασκαλίας σε ευρωπαϊκό πανεπιστήμιο. Με την ευκαιρία _δείτε περισσότερα στο τέλος της ανάρτησης για την Laura Bassi, θα κάνουμε μια ευρεία αναδρομή στη μαγεία των μαθηματικών, από τη “σωστή πλευρά της ιστορίας”

Δείτε
Σοφία _ Σόνια Κοβαλέφσκαγια _Софья 🔢 Васильевна Ковалевская

Συνειρμικά __ 2007
Για το νέο βιβλίο μαθηματικών της 3^ης δημοτικού
Τα μαθηματικά της σύγχυσης, της αμάθειας και της συσκότισης

Τα βιβλία των μαθηματικών _διαχρονικά στοχεύουν στη διαμόρφωση μιας ευάλωτης προσωπικότητας, εφόσον αποθεώνουν τις «ατομικές στρατηγικές επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων», ως προϋπόθεση για την αποδοχή του καπιταλιστικού ιδεώδους. Τα νέα βιβλία στη διαμόρφωση μιας ευάλωτης προσωπικότητας, εφόσον αποθεώνουν τις «ατομικές στρατηγικές επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων», ως προϋπόθεση για την αποδοχή του καπιταλιστικού ιδεώδους

Σύμφωνα με τους συγγραφείς των νέων σχολικών εγχειριδίων γίνεται προσπάθεια να αναπτυχθούν τα λεγόμενα «βιωματικά Μαθηματικά», τα οποία, όπως λέγεται στο Διεπιστημονικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών (ΔΕΠΠΣ), πηγάζουν μέσα από την ίδια πραγματικότητα που βιώνουν τα άτομα, σ' ένα συγκεκριμένο πλαίσιο και ως αποτέλεσμα των «προσωπικών αναγκών». Ποια είναι όμως η πραγματικότητα; Τα προτεινόμενα μοντέλα διδασκαλίας, οι επιχειρούμενες διαθεματικές διασυνδέσεις, καθώς και η εμμονή στα λεγόμενα «βιωματικά» μαθηματικά, δεν επιτρέπουν στους μαθητές να σχηματίσουν ολοκληρωμένες αντιλήψεις για τις νομοτελειακές σχέσεις της φύσης και της κοινωνίας. Χαρακτηρίζονται από τις περιπτωσιολογίες και το συνεχές ανακάτεμα της ύλης, την ανεξήγητη αναδιάταξη και επαύξησή της (πράξεις και υπολογισμοί κατά μία πρόσθετη τάξη των δεκάδων, μοτίβα, συμμετρία), την αδικαιολόγητη εγκατάλειψη της θεωρίας των συνόλων, τη χωρίς εξήγηση αναβάθμιση του βαθμού δυσκολίας, την εμμονή στους «χοντρικούς» νοερούς υπολογισμούς και την εισαγωγή «καινοτομιών», όπως η χρησιμοποίηση των υπολογιστών τσέπης. Θα επιχειρήσουμε μια πρώτη κριτική προσέγγιση των νέων βιβλίων μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα.

Α) Ως προς τη μεθοδολογία και την οργάνωση της διδακτέας ύλης
Παράδειγμα 1^ο (τετράδιο εργασιών, σελ. 29):
Το μάθημα έχει ως στόχο την εκμάθηση της αφαίρεσης διψήφιων και τριψήφιων αριθμών με ή χωρίς κρατούμενο. Προτείνονται μόνο 5 τέτοιες πράξεις και στη συνέχεια παρεμβάλλονται αφαιρέσεις μεταξύ τριψήφιων καθώς και πρόβλημα σχετικά με αφαιρέσεις που προκύπτουν από κατάλογο αθλητικών ειδών. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στις οδηγίες στο βιβλίο δασκάλου: «Προτείνουμε αφαιρέσεις με κρατούμενο ή χωρίς, ανάλογα με τις δυνατότητες των μαθητών που σημαίνει ότι μπορεί να είναι αφαιρέσεις με κρατούμενο ή χωρίς κρατούμενο» (σελ. 44). Αυτή η οδηγία αποκαλύπτει το βασικό πρόβλημα των νέων βιβλίων: Μάθημα και αξιολόγηση επίτευξης των στόχων ανάλογα με τις δυνατότητες των παιδιών και αντικειμενικά οδηγεί στην κατηγοριοποίηση και στην ένταση των ταξικών φραγμών μέσα από τη διδασκαλία του μαθήματος.

Παράδειγμα 2^ο: (βιβλίο μαθητή, σελ. 30)
Μέσα σ' ένα δίωρο μάθημα, οι μαθητές καλούνται να κατακτήσουν το μηχανισμό της εκτέλεσης πολλαπλασιασμού διψήφιου με μονοψήφιο, να μάθουν την προπαίδεια του 11, να έρθουν σε επαφή με τα γινόμενα του 12 και του 13 ως προέκταση της προπαίδειας και να μάθουν να αναλύουν τους τριψήφιους αριθμούς σε γινόμενα. Δυο αρχικές παρατηρήσεις: Η πρώτη σε σχέση με την επάρκεια του προβλεπόμενου χρόνου, ο οποίος κρίνεται ως εξαιρετικά ανεπαρκής για την επίτευξη τόσων πολλών διδακτικών στόχων. Η δεύτερη σε σχέση με την ανεπάρκεια, την αμφισημία και την προχειρότητα του «υλικού» που δίνεται μέσω των διδακτικών εγχειριδίων στο δάσκαλο και στους μαθητές. Για παράδειγμα: για να διδαχτεί η προπαίδεια του 11 χρησιμοποιείται η αφόρμηση μέσω ενός προβλήματος σχετικά με τον πολλαπλασιασμό των ζώων (παπάκια, γουρουνάκια, χελωνάκια), ακολουθεί η συμπλήρωση των γινομένων του 11 και μία άσκηση εξάσκησης στο τετράδιο εργασιών του μαθητή. Ας δεχτούμε ότι το υλικό αυτό είναι αρκετό για να έρθουν τα παιδιά σε επαφή με τα γινόμενα του 11. Σε καμία περίπτωση δε θεωρείται επαρκές για την επίτευξη των άλλων στόχων. Πιο συγκεκριμένα: Για τα γινόμενα του 12 τίθεται στο τετράδιο εργασιών ένα μόνο πρόβλημα, το οποίο, μάλιστα, δεν αφορά όλα τα γινόμενά του και δίνεται με αμφίσημη εκφώνηση: «Η μεσογειακή φώκια Μονάχους - Μονάχους γεννά ένα μικρό κάθε ένα ή δυο χρόνια. Αν σε μια ακτή της Αλοννήσου των Β. Σποράδων γεννιούνται κάθε μήνα, τόσες μικρές φώκιες όσες δείχνει ο πίνακας, πόσες φώκιες γεννιούνται κάθε χρόνο;». Στο σχετικό πίνακα ακολουθούν οι υποθέσεις («Φώκιες που γεννιούνται κάθε μήνα 2, 3, 4, 5, 7, 10) και τα αντίστοιχα ζητούμενα (φώκιες που γεννιούνται κάθε χρόνο)». Ετσι το παιδί μπερδεύει την πληροφορία για το πόσα μικρά γεννά η μία φώκια κατά έτος, με την πληροφορία τού πόσα γεννιούνται σε μια ακτή από το σύνολο των θηλυκών ζώων αυτού του είδους που βρίσκονται εκεί κάθε μήνα. Ακόμα, όμως, κι αν λύσουμε το πρόβλημα της κατανόησης του περιεχομένου της εκφώνησης, έχουμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι με τη λύση αυτής της άσκησης, ο μαθητής τελικά δε θα μάθει όλη την προπαίδεια του 12. Μπορεί να μάθει, ενδεχομένως, για την ικανότητα αναπαραγωγής της φώκιας, το σύμπλεγμα των Β. Σποράδων, τη θέση της Αλοννήσου σε αυτό κλπ., όχι όμως την προπαίδεια του 12. Τελικά, αυτό που έχουμε καταφέρει είναι να προκαλέσουμε σύγχυση με ό,τι αυτό συνεπάγεται. Αλλά και για τους υπόλοιπους στόχους προβλέπονται ελάχιστα: Η ανάλυση των τριψήφιων αριθμών σε γινόμενα δίνεται μόνο σε μία άσκηση στο βιβλίο του μαθητή, για τα γινόμενα του 13 ζητείται να βρεθεί το αποτέλεσμα του 13 επί 4 και μόνο (!), ενώ το γινόμενο δεκάδων και εκατοντάδων με μονοψήφιο αριθμό δίνεται με μια απλή στήλη οριζόντιων πράξεων!.. Κανένα σχόλιο!

Β) Ως προς τις αθέατες πλευρές των ιδεολογικά προσανατολισμένων προβλημάτων
Παράδειγμα 1^ο (βιβλίο μαθητή - 122): Ο μαθητής καλείται να αποφασίσει τι συμφέρει να ακολουθήσει ο Αποστόλης για ένα 3μερο ταξίδι στη Ρώμη μαζί με τους γονείς του. Στο πρόβλημα παρουσιάζονται τα δεδομένα σχετικά με τα έξοδα ταξιδιού χωρίς μεσολάβηση ταξιδιωτικού γραφείου και γι' αυτά που γίνονται με μεσολάβηση. Στο πρόβλημα υπερτονίζεται η «μοναδική προσφορά» του φθηνότερου οικογενειακού πακέτου που προσφέρει το ταξιδιωτικό γραφείο. Κρυφός στόχος: Προσανατολισμός σε «πραγματικές» καταστάσεις. Μπορώ να επιλέξω και το ακριβό, αλλά μπορώ και το φθηνότερο. Επίσης, έμμεση διαφήμιση των «προσφορών» των ταξιδιωτικών πρακτορείων.
Παράδειγμα 2^ο (βιβλίο μαθητή - 122): Ο μαθητής πρέπει να υπολογίσει το κόστος μιας μαθητικής εκδρομής που πληρώνεται εξ ολοκλήρου από τους γονείς. Στα δεδομένα του προβλήματος συγκαταλέγονται η τιμή του εισιτηρίου και ο αριθμός των λεωφορείων. Κρυφός στόχος: Οι μαθητές να αποδεχτούν ότι για κάθε σχολική δραστηριότητα, αλλά και γενικότερα, πρέπει να πληρώνουν οι γονείς τους (ανταποδοτικότητα).
Παράδειγμα 3^ο (βιβλίο μαθητή - 129): Ενα σούπερ μάρκετ δίνει με κάθε αγορά «πόντους» και όταν κάποιος συμπληρώσει έναν συγκεκριμένο αριθμό, μπορεί να τους εξαργυρώσει με κάποια δώρα (πχ. καφετιέρα 9.450, στεγνωτήρας μαλλιών 8.450 πόντους). Στο πρόβλημα η μητέρα (εμφανώς προβληματισμένη) σκέφτεται ότι έχει μόλις 9.000 πόντους. Ο, δε, πατέρας, ως πιο σωστός καταναλωτής (10.000 πόντους!) είναι χαρούμενος γιατί προφανώς έχει κατακτήσει «προσωπικούς» στόχους. Ο μαθητής και μέσα στα πλαίσια των «πραγματικών» προβληματικών καταστάσεων καλείται να πάρει θέση: «Ποια δώρα μπορεί να πάρει η μητέρα; Ποια δώρα δεν μπορεί να πάρει ο πατέρας;». Στόχος: Αναγνωρίζεται στο μαθητή (αρχή της ενσυναίσθησης) η ικανότητα αξιολογικής πρότασης και επιχειρείται η διαφήμιση των σούπερ μάρκετ και ειδικά της αγοράς μέσω προσφορών.
Παράδειγμα 4^ο, (βιβλίο μαθητή - 138): Ο μαθητής καλείται να ενημερωθεί για τη λειτουργία των Διοδίων. «Έχεις περάσει ποτέ από διόδια; Γιατί νομίζεις ότι υπάρχουν;». Συμπληρωματικά δίνονται και επιπρόσθετες πληροφορίες: «Κάθε όχημα πληρώνει διαφορετικό ποσό, για να περάσει από τα διόδια (π.χ. Μοτοσικλέτα 0,70, αυτοκίνητο 1,40, νταλίκα 2,90). Ερωτήσεις: «Φτάνουν 3 ευρώ για δυο επιβατικά μαζί; Πόσο θα πληρώσουν μαζί οι 2 οδηγοί μεγάλων φορτηγών; Στη σχολική εκδρομή χρειάζονται 3 λεωφορεία. Πόσο θα πληρώσουν συνολικά, αν περάσουν από τα διόδια;»
Στόχος: Οι μαθητές να μάθουν για τα οφέλη της ανταποδοτικότητας. Πληρώνω για να έχω καλούς και ασφαλείς δρόμους.

Συμπερασματικά: Από τη μέχρι τώρα μελέτη μας διαφαίνεται ότι οι αρχές και η φιλοσοφία των νέων ΔΕΠΠΣ - ΑΠΣ και βιβλίων των Μαθηματικών δεν υλοποιούν τους στόχους της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης για την προσέγγιση της μαθηματικής σκέψης και γενικότερα την ανάπτυξη της κριτικής ικανότητας. Το βιβλίο και το ΑΠΣ των μαθηματικών της Γ' τάξης, αλλά και συνολικά τα βιβλία του Δημοτικού, ακολουθώντας τον υποκειμενικό ιδεαλισμό και την αποσπασματικότητα των προηγούμενων, αρνούνται την αναγκαιότητα της συστηματικής μετάδοσης της μαθηματικής γνώσης και αρκούνται σε αποσπασματικότητες και περιπτωσιολογίες. Στοχεύουν στη διαμόρφωση μιας ευάλωτης προσωπικότητας, εφόσον αποθεώνουν τις «ατομικές στρατηγικές επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων», ως προϋπόθεση για την αποδοχή του καπιταλιστικού ιδεώδους. Είναι στο χέρι μας να ανατρέψουμε αυτήν την πραγματικότητα, που εκ των πραγμάτων αποκτά γενικότερη κοινωνική και πολιτική σημασία.

Θωμάς Κασελούρης
Δάσκαλος, διδάκτωρ Κοινωνιολογίας,
μέλος της Ομάδας Μελέτης
των νέων βιβλίων του ΤΕΠ- ΚΜΕ
_αναδημοσίευση από Ριζοσπάστη

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι 1.000+
χρόνια παλιότερο από τον Πυθαγόρα ?¿

 

          Άλλο να λύνεις και άλλο να... κατανοείς;

Τι είναι άραγε αυτό που δυσκολεύει τόσο τα παιδιά με τα Μαθηματικά; Γιατί τα φοβούνται; Μήπως είναι μόνο για λίγα, ιδιαίτερης κλίσης «μυαλά»; Αν είναι όντως έτσι, γιατί είναι τόσο σημαντικό σήμερα να ξέρει κάποιος Μαθηματικά και «τι είδους Μαθηματικά» μαθαίνει; Είναι αλήθεια πως οι μαθηματικές έννοιες, ως πολύ αφηρημένες, δυσκολεύουν τα παιδιά στην κατανόηση μαθηματικών φαινομένων. Συνήθως μαθαίνουν να κάνουν Μαθηματικά γύρω από αυτές τις έννοιες, χωρίς όμως αυτές. Αυτό το φαινόμενο δεν απέχει καθόλου από τη συνολικότερη κατρακύλα της γνώσης στο επίπεδο δεξιοτήτων, όπως ευθέως τίθεται άλλωστε από τον Οργανισμό Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης που αναφέρει: «Είναι γεγονός πως η σύγχρονη οικονομία επιβραβεύει τα άτομα όχι για αυτό που ξέρουν αλλά για αυτό που ξέρουν να κάνουν» (ΟΟΣΑ, 2014).

Τι προβλήματα λοιπόν μαθαίνουν να λύνουν τα παιδιά και κυρίως πώς μαθαίνουν να το κάνουν;
Στο βιβλίο Μαθηματικών Α' Γυμνασίου (παρ. 4.2 Επίλυση προβλήματος) βρίσκουμε: «Όλα τα προβλήματα λύνονται με τη βοήθεια των Μαθηματικών». Το σύνολο της πραγματικότητας αναφέρεται σε δύο μόνο γραμμές, για τα προβλήματα που δεν λύνονται με εξισώσεις και τα άλυτα προβλήματα ή προβλήματα των οποίων δεν μπορούμε να βρούμε τη λύση. Θα μπορούσε να πει κανείς πως δεν χρειάζεται σε ένα βιβλίο Μαθηματικών να ασχοληθούμε με παραδείγματα προβλημάτων που δεν λύνονται με Μαθηματικά.

Μαθαίνω όμως σημαίνει κατανοώ

Τι λένε όμως μαθηματικοί και επιστήμονες της Εκπαίδευσης για το πρόβλημα και την επίλυσή του; Ο Αμερικανός μαθηματικός της Εκπαίδευσης Alan Henry Schoenfeld διαχωρίζει τα προβλήματα από τις ασκήσεις βάσει ενός απλού μα καταλυτικού κριτηρίου. Το πρόβλημα είναι πρόβλημα όσο δεν ξέρεις πώς να το λύσεις. Αυτό δεν σημαίνει πως η λύση δεν υπάρχει ή είναι μοναδική, ούτε αποκλείονται οι περιπτώσεις αυτές. Μια κατάσταση ρουτίνας ή οικείων διαδικασιών είναι άσκηση, όχι πρόβλημα.
Ο μεγάλος Ούγγρος μαθηματικός George Polya κωδικοποίησε τα στάδια στην επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος, ανεξάρτητα από τη φύση του:

1. Κατανόηση προβλήματος

2. Επινόηση σχεδίου επίλυσης

3. Εφαρμογή σχεδίου

4. Αναστοχασμός

Το πρόβλημα είναι η κατάσταση που για να την αντιμετωπίσεις ενεργά, αναγκαστικά αναπτύσσεις τη φαντασία και τη δημιουργικότητά σου, μαθαίνεις.

Τα Μαθηματικά δεν είναι πράξεις
λυσάρι ή συνταγολόγιο

Στο σχολείο λοιπόν του σήμερα, οι μαθητές φτωχαίνουν συνεχώς σε γνωστικούς πόρους, δηλαδή σε σχετική μαθηματική γνώση, σε διαίσθηση ως συνολικότερη γνώση και στη δυνατότητα κατανόησης. Για να αντεπεξέλθουν στοιχειωδώς στο Λύκειο στηρίζονται σε τεχνικές επίλυσης, δίχως τη δυνατότητα δημιουργίας δικών τους λύσεων. Τα παιδιά μαθαίνουν νέους ορισμούς σε κάθε κεφάλαιο, νέους τρόπους αναπαράστασης και απεικόνισης εννοιών, νέο πλαίσιο υπολογιστικών προβλημάτων και καμία απόδειξη, κανένα πρόβλημα που θα τα βοηθήσει να καταλάβουν την ανάγκη που οδήγησε σε αυτές τις νέες έννοιες.

Έτσι ακόμη και ο έλεγχος των ενεργειών τους μοιάζει ακατόρθωτος. Σπάνια παίρνουν συνειδητές αποφάσεις για τη λύση γιατί γνωρίζουν τα γνωστικά τους εργαλεία. Συχνά μοιάζει αδύνατο ακόμα και να αιτιολογήσουν τη μέθοδό τους ή να την αναδιατυπώσουν. Ενθαρρύνεται η αριθμητική προσέγγιση των Μαθηματικών ως πιο εμπειρική. Αυτό φαίνεται σαφώς στις οδηγίες του υπουργείου προς τους εκπαιδευτικούς της Α' Γυμνασίου για την επίλυση με δοκιμή τιμών, γιατί μόνο έτσι λένε θα βρει νόημα το παιδί σε αυτό που λύνει. Η αφηρημένη, βοηθητική για τα Μαθηματικά έννοια του αριθμού γίνεται σχεδόν αποκλειστικό αντικείμενο μελέτης.

Ένα παράδειγμα: Στη συνέχεια του Γυμνασίου οι «συνταγές» επεκτείνονται στην επίλυση εξισώσεων (σχολικό βιβλίο Β' Γυμνασίου, παρ. Α 1.2 Εξισώσεις α' Βαθμού). Πολλές φορές μαθαίνουν τόσο μηχανιστικά να λύνουν, όπου τις παραπάνω φράσεις τις «κολλάνε» σε οποιαδήποτε λύση και μόνο με αυτήν τη σειρά. Έτσι τα παιδιά, με περίσσια «εθνική» υπερηφάνεια, μπορούν να λύσουν προβλήματα όπως αυτό.

Στον αστερισμό της Δόξας!

Στις 14 Ιουνίου 1987 η εθνική μας ομάδα μπάσκετ κατέκτησε το Πανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα νικώντας στο Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας, στον τελικό, την πανίσχυρη ομάδα της τότε Σοβιετικής Ενωσης με 103 - 101. Πρωταγωνιστής και σούπερ σταρ της βραδιάς ήταν ο Νίκος Γκάλης που πέτυχε 40 πόντους. Ο Γκάλης είχε σε εκείνο τον αγώνα 22 εύστοχες βολές, από τις οποίες οι 8 ήταν βολές του 1 πόντου και οι υπόλοιπες 14 βολές των 2 ή 3. Πόσα τρίποντα πέτυχε εκείνο το βράδυ ο Γκάλης; Και ιδρώνουν με προβλήματα χωρίς αριθμητικά δεδομένα, όπως αυτά που θεμελίωσαν τα αρχαία ελληνικά Μαθηματικά των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, όπως αυτό.

Συμπέρασμα: Τελικά αυτό που φοβίζει τα παιδιά δεν είναι τα Μαθηματικά, αλλά οι ολοένα πιο σύνθετοι υπολογισμοί. Δεν δυσκολεύονται να μάθουν Μαθηματικά, αλλά ολοένα και πιο μακροσκελείς «συνταγές», με όλο και περισσότερα βήματα λύσης. Όταν πελαγωμένα απλώνουν το χέρι στο κομπιουτεράκι, ας το πιάσουμε. Ζητούν βοήθεια γιατί φοβούνται και δεν θέλουν να του μοιάσουν.

Τα μαθηματικά ως επιστήμη απέραντη και με ιστορία χιλιετιών: Τα παλαιότερα διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Πλίμπτον 322_Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ.) _ μια πήλινη πλάκα, που περιέχει έναν μαθηματικό πίνακα γραμμένο σε σφηνοειδή γραφή. Κάθε σειρά του πίνακα σχετίζεται με ένα πυθαγόρειο τριπλό, δηλαδή ένα τριπλό ακεραίων (s,ℓ,d) που ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα, s²+ℓ²=d², ο γνωστός κανόνας που εξισώνει το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου με το τετράγωνο της υποτείνουσας _ “Πυθαγόρειο θεώρημα”. Η εποχή στην οποία γράφτηκε ήταν ~13-15 αιώνες πριν τις σημαντικότερες ελληνικές ανακαλύψεις στη γεωμετρία. Αντίστοιχα ο Μαθηματικός πάπυρος του Ριντ (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ.), Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα ασχολούνται με το γνωστό ως Πυθαγόρειο θεώρημα, που φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πλέον διαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και τη γεωμετρία.

Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6^ο αιώνα π.Χ. με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά με την εισαγωγή του παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών. Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν συνεισφορές πολύ ενωρίς, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών. Τα σύμβολα των αριθμών, δηλαδή τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9, που χρησιμοποιούμε σήμερα σ' όλο τον κόσμο, προέρχονται από την Ινδία. Ονομάστηκαν αραβικοί αριθμοί επειδή έγιναν γνωστοί στην Ευρώπη μέσω των Αράβων. Οι κανόνες, για τη παράσταση με αυτά τα ψηφία των αριθμών στο δεκαδικό σύστημα, εξελίχθηκαν πιθανότατα κατά την πρώτη χιλιετία μ.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Αράβων μαθηματικών, που τα ανέπτυξαν και επέκτειναν και τα έκαναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς. Πολλά γνωστά ελληνικά και αραβικά μαθηματικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, κάτι που οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη στη μεσαιωνική Ευρώπη. 

                Η μαγεία των μαθηματικών

Ως επιστήμη που μελετά θέματα που αφορούν ποσότητα (αριθμούς) δομή (γεωμετρικά σχήματα), το χώρο, τη μεταβολή (χωροχρόνο κατά Αϊνστάιν), τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας, καθώς επίσης, πολλά άλλα που δεν είναι με πρώτη ματιά «δεκτά» στον ορισμό των μαθηματικών, περιγράφοντας τις σχέσεις με τύπους ή αλγόριθμους και ερευνώντας την αλήθεια τους με αποδεικτική διαδικασία λογικών βημάτων που στηρίζονται σε αξιώματα και θεωρήματα.

Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια ή το ψεύδος τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση αξιώματα και ορισμούς. Η έρευνα που απαιτείται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων μπορεί να πάρει χρόνια ή ακόμα και αιώνες συνεχούς έρευνας. Μετά την πρωτοποριακή δουλειά του Τζουζέπε Πεάνο, του Ντέιβιντ Χίλμπερτ και άλλων για τα συστήματα αξιωμάτων στα τέλη του 19^ου αιώνα, έχει καταστεί εθιμικό δίκαιο η οπτική της μαθηματικής έρευνας της επικρατούσας αλήθειας, με μαθηματικές δομές-μοντέλα των πραγματικών φαινομένων, ώστε η μαθηματική λογική μπορεί να παράσχει πληροφορίες ή προβλέψεις για τη φύση. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από τη φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τα μαθηματικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.

Μέσω της χρήσης της αφαίρεσης και της λογικής σκέψης, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν από την καταμέτρηση, τον υπολογισμό, τη μέτρηση, και τη συστηματική μελέτη των σχημάτων και των κινήσεων των φυσικών αντικειμένων. Πρακτικά τα μαθηματικά ήταν πάντα μια ανθρώπινη δραστηριότητα όπως άλλωστε δείχνουν και οι αρχαιότερες από τις γραπτές μαρτυρίες που υπάρχουν. Ωστόσο, τα αυστηρά επιχειρήματα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στα ελληνικά μαθηματικά, κυρίως στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Τα Μαθηματικά αναπτύσσονταν με σχετικά αργούς ρυθμούς μέχρι την Αναγέννηση, όταν μαθηματικές καινοτομίες που άρχισαν να αλληλεπιδρούν με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις σε άλλα πεδία, οδήγησαν πλέον σε ραγδαία αύξηση του ρυθμού των μαθηματικών ανακαλύψεων που συνεχίστηκε μέχρι σήμερα.

Ο Γαλιλαίος Γαλιλέι είπε: «Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί παρά μόνο αφού μαθευτεί η γλώσσα του και έχει γίνει εξοικείωση με τους χαρακτήρες με τους οποίους η γλώσσα του είναι γραμμένη. Η γλώσσα του είναι η μαθηματική γλώσσα, και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία συνεπώς είναι ανθρωπίνως αδύνατο να κατανοηθεί έστω και μια λέξη. Χωρίς αυτά, κάποιος (που ασχολείται με την έρευνα για το σύμπαν) είναι σαν να περιπλανιέται σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο». Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρεται στα Μαθηματικά ως «η βασίλισσα των επιστημών». Ο Μπέντζαμιν Πιρς ονόμασε τα μαθηματικά ως «...την επιστήμη που σχεδιάζει απαραίτητα συμπεράσματα». Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ είπε για τα μαθηματικά: «Δεν μιλάμε εδώ σε καμμιά λογική για αυθαιρεσίες. Τα Μαθηματικά δεν είναι σαν ένα παιχνίδι στο οποίο τα καθήκοντα μπορούν να καθορίζονται από τους κανόνες που ορίζονται αυθαίρετα. Μάλλον, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα το οποίο έχει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και σε καμία περίπτωση το αντίθετο».Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν δήλωσε ότι «...όσο οι νόμοι των μαθηματικών αναφέρονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σίγουροι. Και στο μέτρο που είναι βέβαιοι, δεν αναφέρονται στην πραγματικότητα». Πιο πρόσφατα ο Μάρκους ντου Σατόυ ονόμασε τα Μαθηματικά: «...η Βασίλισσα των Επιστημών...η κύρια οδηγήτρια δύναμη πίσω από την επιστημονική ανακάλυψη».

Τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο ως ένα απαραίτητο εργαλείο σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της φυσικής επιστήμης, της μηχανικής, της ιατρικής, καθώς και τις κοινωνικές επιστήμες. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την εφαρμογή της μαθηματικής γνώσης σε άλλους τομείς, εμπνέεται από τη μαθηματική σκέψη και κάνει χρήση των νέων μαθηματικών ανακαλύψεων, που έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη εντελώς νέων τομέων των μαθηματικών, όπως η στατιστική και η θεωρία παιγνίων. Οι μαθηματικοί ασχολούνται και με τα λεγόμενα θεωρητικά ή καθαρά μαθηματικά, ή μαθηματικά χωρίς εξωτερική αιτία, δηλαδή ασχολούνται με τα μαθηματικά καθ'εαυτά, χωρίς να έχουν καμία πραγματική εφαρμογή υπόψη. Δεν υπάρχει βέβαια καμιά σαφής διαχωριστική γραμμή μεταξύ καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, καθώς και πρακτικές εφαρμογές ξεκίνησαν από έρευνα που ξεκίνησε ως καθαρά μαθηματικά, αλλά και καθαρά μαθηματικά προέκυψαν τελικά από τις πρακτικές εφαρμογές. Επομένως τα δυο αυτά είδη μαθηματικών ουσιαστικά αλληλοεπικαλύπτονται.

Ετυμολογία

Η λέξη μαθηματικά (mathematics) προέρχεται διεθνώς από την ελληνική γλώσσα, και συγκεκριμένα από τον (αρχαίο) πληθυντικό του ουδετέρου του επιθέτου μαθηματικός < μάθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ (με μελέτη) γνώσεις, γνώση, παιδεία, εμπειρία. Στην Ελλάδα, η λέξη «μαθηματικά» έφτασε να έχει στενότερη και πιο τεχνική σημασία εννοώντας τη «μελέτη των μαθηματικών» (με τη σημερινή έννοια του όρου), ακόμη και από την Κλασική εποχή. Σήμαινε η μάθηση της τέχνης των μαθηματικών.

Στα λατινικά και στα αγγλικά γύρω στα 1700, ο όρος «mathematics» πιο συχνά σήμαινε αστρολογία ή μερικές φορές αστρονομία, παρά μαθηματικά με τη σύγχρονη έννοια του όρου. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσμα πολλές λανθασμένες μεταφράσεις και παρανοήσεις, με πιο ιδιαίτερο παράδειγμα τη διαβόητη προειδοποίηση του Αγίου Αυγουστίνου ότι οι χριστιανοί θα πρέπει «να προσέξουν τη μαθηματική έννοια», και ενώ αναφέρει τα μαθηματικά με την αστρολογική έννοια της εποχής και στην ουσία καταδικάζει την αστρολογία, μπορεί μερικές φορές η φράση να παρερμηνευθεί και να θεωρήσει κανείς πως ο άγιος καταδικάζει τα μαθηματικά, με τη σημερινή έννοια του όρου.

Ο εμφανιζόμενος πληθυντικός στα αγγλικά, όπως και στα γαλλικά «les mathématiques» και το λιγότερο χρησιμοποιούμενο παράγωγο στον ενικό «la mathématique», πηγαίνει πίσω στο ουδέτερο πληθυντικό στη Λατινική «mathematica» (Κικέρων), με βάση τον ελληνικό πληθυντικό «τα μαθηματικά», που χρησιμοποιείται από τον Αριστοτέλη και σημαίνει περίπου «όλα τα πράγματα μαθηματικά», αν και είναι πιθανό ότι η αγγλική να δανείστηκε αρχικά μόνο το επίθετο «mathematical» και να σχηματίστηκε εκ νέου το ουσιαστικό «mathematics», κατά τα πρότυπα των λέξεων φυσική (physics) και μεταφυσική (metaphysics), που κληρονόμησε απευθείας από την ελληνική γλώσσα. Στα αγγλικά, τα μαθηματικά ουσιαστικό παίρνει ρηματικούς τύπους στον ενικό αριθμό. Συχνά συντομεύεται σε «maths», ή ακόμη, κυρίως στην αγγλόφωνη Βόρεια Αμερική, σε «math».

          Laura _Maria Caterina_ Bassi

Γεννήθηκε στη Μπολόνια, που τότε ανήκε στα Παπικά Κράτη 31-Οκτ-1711 και πέθανε 20-Φεβ-1778. Ιταλίδα φυσικός, ανατόμος και ακαδημαϊκός, η πρώτη γυναίκα στην ιστορία της ανθρωπότητας που κατείχε πανεπιστημιακή έδρα σε κάποια φυσική επιστήμη. Απέκτησε διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο της Μπολόνια το 1732 και αυτό ήταν το δεύτερο που δόθηκε ποτέ σε γυναίκα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο. Γενικότερα, ήταν η πρώτη γυναίκα στην οποία δόθηκε επίσημη θέση διδασκαλίας σε ευρωπαϊκό πανεπιστήμιο.

Σε ηλικία 21 ετών έγινε η δεύτερη γυναίκα στην ιστορία που πήρε διδακτορικό και συνακόλουθα, διορίσθηκε καθηγήτρια της ανατομίας στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, εκλέχθηκε στην Ακαδημία Επιστημών του Ινστιτούτου της Μπολόνια και το επόμενο έτος της δόθηκε η έδρα της Φιλοσοφίας. Ο ζωγράφος Ντομένικο Μαρία Φράττα και ο χαράκτης Αντόνιο Λατσάρι (Antonio Lazzari) σχεδίασαν και έκοψαν ένα μπρούτζινο μετάλλιο με τη μορφή της σε ανάμνηση των πρώτων μαθημάτων της. Η υπεράσπιση της διατριβής της, η τελετή αναγορεύσεώς της σε διδάκτορα και η πρώτη της διάλεξη το 1732 έλαβαν χώρα σε ένα από τα σημαντικότερα κρατικά κτήρια της Μπολόνια, το Palazzo d’Accursio ή Palazzo Pubblico και τις παρακολούθησαν «όχι μόνο οι καθηγητές και οι φοιτητές του πανεπιστημίου, αλλά και βασικές πολιτικές και θρησκευτικές προσωπικότητες της Μπολόνια: ο παπικός λεγάτος, ο αρχιεπίσκοπος της Μπολόνια, οι πρεσβύτεροι, γερουσιαστές και μαγίστρατοι». Επιπλέον, «όλες οι κυρίες της Μπολόνια και όλοι οι ευγενείς». Η Μπάσι έφθασε να έχει τον υψηλότερο μισθό που έδινε τότε το Πανεπιστήμιο της Μπολόνια.

Ενδιαφερόταν κυρίως για τη νευτώνεια φυσική και τη δίδαξε επί 28 χρόνια. Υπήρξε ένα από τα κομβικά πρόσωπα στην εισαγωγή των ιδεών του Νεύτωνα για τη φυσική φιλοσοφία στην Ιταλία. Πραγματοποίησε επίσης δικά της πειράματα σε όλες τις πλευρές της φυσικής. Προκειμένου να διδάξει κλασική μηχανική και ηλεκτρισμό, θέματα που δεν εστιάζονταν στο πανεπιστημιακό πρόγραμμα, η Μπάσσι παρέδιδε μαθήματα στο σπίτι της. Συνολικά εκπόνησε 28 εργασίες, με τη μεγάλη τους πλειονότητα να αφορούν τη φυσική και την υδραυλική και παρά τον περιορισμένο αριθμό των έργων που άφησε, το αποτύπωμά της στον επιστημονικό κόσμο είναι προφανές από την αλληλογραφία της με τον Βολταίρο, τον Τσέζαρε Μπεκαρία, τον κόμη Φραντσέσκο Αλγκαρόττι και τους Ρότζερ Μπόσκοβιτς, Σαρλ Μπονέ, Ζαν Αντουάν Νολέ, Πάολο Φρίζι, Λάζαρο Σπαλαντζάνι και Αλεσάντρο Βόλτα. Ο Βολταίρος κάποτε της έγραψε: «Δεν υπάρχει Μπάσσι στο Λονδίνο και θα ήμουν πολύ ευτυχέστερος να προστεθώ στην Ακαδημία σας της Μπολόνια από ό,τι σε αυτή των Εγγλέζων, παρά το ότι παρήγαγαν έναν Νεύτωνα». Το 1745 ο Πάπας Βενέδικτος ΙΔ΄ συγκρότησε μία επίλεκτη ομάδα 25 σοφών, γνωστή ως «οι Βενεδικτίνοι» (Benedettini). Η Μπάσσι επεδίωξε να ορισθεί μέλος της ομάδας αυτής, αλλά υπήρξαν αντιδράσεις από μερικά μέλη της. Στο τέλος όμως ο Πάπας τη διόρισε, αν και ήταν η μοναδική γυναίκα από τους 25. Εκλέχθηκε μέλος πολλών επιστημονικών ενώσεων και εταιρειών των γραμμάτων, καθώς ήταν γνώστρια της ελληνικής κλασικής, της γαλλικής και της ιταλικής λογοτεχνίας.
Μοναδικό επιζών παιδί στην οικογένεια –τότε η παιδική θνησιμότητα θέριζε πλούσιους και φτωχούς.

Ο πατέρας της Laura, Giuseppe Bassi, ήταν δικηγόρος και έτσι, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι η οικογένεια ήταν αρκετά εύπορη. Ο Τζουζέπε φρόντιζε τα νομικά για σπίτια και κτήματα αρκετών από τους γερουσιαστές της Μπολόνια, έτσι ασχολήθηκε πολύ με την αριστοκρατία αυτής της πόλης. Η μητέρα της  ήταν η Rosa Cesári, για την οποία λίγα πράγματα φαίνεται να είναι γνωστά. Τόσο ο Giuseppe όσο και η Rosa κατάγονταν από το Scandiano, μια πόλη στην επαρχία Reggio Emilia. Ο παππούς της _από τον πατέρα, Giacinto Bassi, είχε ένα κατάστημα χημικών στη Μπολόνια, όπου παρασκευάζονταν και πωλούνταν φάρμακα με φυσικής βάσης _βιολογικά. Όταν ήταν πέντε ετών ξεκίνησε την εκπαίδευσή της υπό την επίβλεψη του ξαδέλφου της πατέρα Lorenzo Stegani. Της δίδασκε μέχρι τα δεκατρία της χρόνια δίνοντάς της μαθήματα λατινικών, γαλλικών και αριθμητικής. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι ένα μορφωμένο κορίτσι θα διδάσκονταν γαλλικά και αριθμητική, αλλά είναι πολύ περίεργο ότι διδάχτηκε λατινικά. Αυτή η γλώσσα, απαραίτητη για τους άνδρες που ξεκινούν μια επιστημονική καριέρα και πολλές άλλες σταδιοδρομίες, θα θεωρούνταν άχρηστη ακόμη και για μια πολύ καλά μορφωμένη γυναίκα. Η Stegani έγραψε τον πρόλογο ^[53] της ποιητικής συλλογής που εκδόθηκε προς τιμήν της Λάουρα Μπάσι το 1732, απευθύνοντάς την «Στην πιο μορφωμένη και πολυμαθή νεαρή κυρία Laura M C Bassi».

49 φιλοσοφικές διατριβές !!

Όταν η Λάουρα έφτασε στα δεκατρία της, ο πατέρας της προσέλαβε έναν ιδιωτικό δάσκαλο, τον Gaetano Tacconi  _Γκαετάνο Τακόνι, που ήταν καθηγητής στο Ιατρικό Κολλέγιο, για να την εκπαιδεύσει και έλαβε εξαιρετική διδασκαλία σε ένα μεγάλο εύρος θεμάτων από αυτόν για μια περίοδο επτά ετών. Η διδασκαλία σε προχωρημένο επίπεδο από τον Tacconi, οικογενειακό γιατρό της οικογένειας Bassi, συνεχίστηκε μέχρι τα είκοσί της. Λέγεται ότι σπούδασε ανατομία, φυσική ιστορία, λογική, μεταφυσική, φιλοσοφία, χημεία, υδραυλικά, μηχανική, άλγεβρα, γεωμετρία, αρχαία ελληνικά, λατινικά, γαλλικά και ιταλικά. Καθώς ο Tacconi συνειδητοποίησε τις αξιοσημείωτες πνευματικές ικανότητες της Bassi, την μύησε σε προηγμένα επιστημονικά θέματα, συμπεριλαμβανομένης της οπτικής του Isaac Newton που μπορούσε να διαβάσει στα λατινικά και εντυπωσιάστηκε πολύ με τις ικανότητες της μαθήτριας του και μέσω αυτού άρχισε να αποκτά φήμη στον κύκλο των λογίων της Μπολόνια. Αρκετοί από τους μελετητές που ήταν μέλη της Ακαδημίας Επιστημών εκεί προσκλήθηκαν στο σπίτι της  από τον Tacconi, ο ίδιος μέλος της Ακαδημίας, και αυτή άρχισε _από την αρχή διαφωνίες μαζί τους για φιλοσοφικά θέματα. Όλοι εντυπωσιάστηκαν από τις δεξιότητές της στη συζήτηση και επίσης από την ευκολία με την οποία αφομοίωσε τη γνώση. Ένας από αυτούς τους λόγιους άντρες ήταν ο Prospero Lambertini. Είχε γεννηθεί στη Μπολόνια και είχε ανακηρυχθεί διδάκτωρ θεολογίας και νομικής από το Πανεπιστήμιο της Ρώμης. Αναβαθμίστηκες σε καρδινάλιος το 1728, και το 1731 επέστρεψε στη Μπολόνια όπου αναδείχθηκε σε αρχιεπίσκοπο από τον Πάπα Κλήμη ΧΙΙ. Ο Lambertini έγινε προστάτης της Bassi (λέγεται πως υπήρξε και ερωμένη του) και, για να επιδείξει τον προστατευτισμό του, διοργάνωσε μια συζήτηση μεταξύ αυτής και τεσσάρων καθηγητών από τη Μπολόνια το 1732. Η συζήτηση πραγματοποιήθηκε στο μεγάλο Palazzo Pubblico στη Μπολόνια και η Bassi _με απίστευτη ευκολία υπερασπίστηκε σαράντα εννέα φιλοσοφικές διατριβές. Η Monique Frize γράφει ^[34]: Οι διατριβές του δέκατου όγδοου αιώνα δεν ήταν κομμάτια πρωτότυπης έρευνας όπως είναι τώρα, αλλά απαντήσεις και συζήτηση για ένα σύνολο ερωτήσεων που ετοίμαζε ο υποψήφιος εκ των προτέρων. Ο υποψήφιος αρχικά παρήγαγε γραπτές απαντήσεις στα λατινικά στις ερωτήσεις των καθηγητών, οι οποίες στη συνέχεια διαβάστηκαν από μια επιτροπή και τελικά υπερασπίστηκαν προφορικά. Η συγκεκριμένη εξέταση ήταν αρκετά ασυνήθιστη. Οι φοιτητές υπερασπίζονταν κανονικά τη διατριβή τους στο πανεπιστήμιο παρουσία του διδακτικού προσωπικού, σίγουρα όχι με την παρουσία ενός τόσο μεγάλου και καταξιωμένου κοινού όπως συνέβαινε σήμερα. Η μοναδικότητα αυτής της εκδήλωσης εξηγείται από το γεγονός ότι ο υποψήφιος δεν ήταν ένας νεαρός, όπως θα περιμέναμε, αλλά μια νεαρή όμορφη γυναίκα, η 20χρονη Laura Bassi. ... Λόγω του φύλου της, η Λόρα έπρεπε να εμφανιστεί με πολύ δημόσιο προφιλ να αναγνωριστούν οι ικανότητες και οι γνώσεις της.

Στην πραγματικότητα εκείνη τη στιγμή η Bassi άρχισε να απομακρύνεται από τις συμβουλές του Tacconi. Ήθελε αρχικά να επικεντρωθεί σε διατριβές που αφορούσαν την ηθική, αλλά υποστηριζόμενη από τον Lambertini επικεντρώθηκε σε διατριβές που σχετίζονταν με τη φυσική. Στην πραγματικότητα δεκαοκτώ αφορούσαν απευθείας τη φυσική, τις ιδέες του Αριστοτέλη για την κίνηση, του ισχυρισμού του Descartes (Καρτέσιου) ότι η δύναμη δεν μπορούσε να δράσει σε απόσταση, του Γαλιλαίου και του Torricelli για την κίνηση των ρευστών του Νεύτωνα για το φως και το χρώμα και μερικές ακόμη. Η επιτυχία της οδήγησε στην απονομή διδακτορικού διπλώματος στη φιλοσοφία το 1732 και, μετά από αυτό, ο διορισμός της ως Αναγνώστρια στη Φιλοσοφία της επέτρεψε να γίνει λέκτορας στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Ένα μήνα νωρίτερα, είχε γίνει η πρώτη γυναίκα μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Μπολόνια, όταν δεκαέξι μέλη της Ακαδημίας συμφώνησαν ομόφωνα να γίνει δεκτή αφού είχαν ακούσει _βλ., για παράδειγμα, ^[27]__ ... η παρουσίαση που έκαναν ο Signor Eustachio Manfredi, ο Signor Jacopo Bartolomeo Beccari, ο πατέρας Abundio Collina και άλλοι σχετικά με την άπειρη και απίστευτη πολυμάθεια που έδειξε αυτό το νεαρό κορίτσι, πέρα ​​από το φύλο και την ηλικία της, που υποστηρίζεται από τα πολλά συμπεράσματα που υποστήριξε πολλές φορές για όλη τη φιλοσοφία, με τέτοια ταχύτητα δεν μπορούσες να το πιστέψεις αν δεν την είχες ακούσει.

Ο Jacopo Bartolomeo Beccari, ο καθηγητής φυσικής, και ο Francesco Maria Zanotti, ο καθηγητής φιλοσοφίας και γραμματέας της Ακαδημίας, στάλθηκαν να ενημερώσουν την Bassi ότι είχε εκλεγεί ομόφωνα μέλος της Ακαδημίας και να την ενημερώσουν για την «υψηλή εκτίμηση που είχε η Ακαδημία για την ευφυΐα της». Εκείνη την εποχή, που δεν είχε πλέον τον Tacconi ως δάσκαλο, σπούδασε ανώτερα μαθηματικά και τη φυσική του Νεύτωνα με τον Gabriele Manfredi, τον αδελφό του μαθηματικού Eustachio Manfredi που αναφέρεται στο παραπάνω απόσπασμα. Να σημειώσουμε ότι τα δύο αδέρφια Manfredi «είχαν καλή διάθεση για γυναίκες με ακαδημαϊκό πνεύμα», καθώς οι δύο αδερφές τους Teresa Manfredi (1679-1767) και Maddelena Manfredi (1673-1744) είχαν σπουδάσει αστρονομία, μαθηματικά και λατινικά και όπως η Bassi και συμμετείχαν σε συζητήσεις με ακαδημαϊκούς στο σπίτι τους. Φαίνεται ότι υπήρξε αρκετή διάσπαση στα μέλη της Ακαδημίας αυτή τη στιγμή με τον Tacconi και κάποιους άλλους να είναι αφοσιωμένοι στην παράδοση της φυσικής φιλοσοφίας από τον Αριστοτέλη έως τον Descartes, ενώ άλλοι να πιστεύουν σταθερά στην προσέγγιση του Newton. Η Μπάσι γινόταν όλο και περισσότερο Νευτώνειος ^[27]__

Διαμορφώνοντας το περιεχόμενο των δημόσιων παρουσιάσεων της, αφού της είχε απονεμηθεί το πτυχίο και ήταν σε καλό δρόμο για να γίνει καθηγήτρια πανεπιστημίου, τα Νευτώνεια μέλη του «Istituto» καθιέρωσαν την ιδιότητά της ως σύγχρονης φυσικής φιλόσοφος.

         Κα Laura Veratti

7-Φεβ-1738 παντρεύτηκε τον Giovanni Giuseppe Veratti, λέκτορα επιστημών στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, με τον οποίον ήταν εραστές αρκετά χρόνια πριν. Είχε παρουσιάσει έξι διατριβές μεταξύ 1733 και 1735 και εξελέγη στην Ακαδημία, ωστόσο, δεν θεωρούνταν τόσο καλός επιστήμονας όσο η Μπάσι. Για παράδειγμα, ο Giovanni Giacomo Amadei, της εκκλησίας S Maria Maggiore στη Μπολόνια, έγραψε ^[39]: Αυτός ο γάμος δεν γεμίζει με ικανοποίηση τους πολίτες, που δεν μάσησαν τα λόγια τους, όχι μόνο λόγω του γαμπρού, που είναι μισογύνης, αλλά περισσότερο λόγω της νύφης, που θα τα κατάφερνε καλύτερα αν παρέμενε παρθένα σε οποιαδήποτε υποχώρηση.
Η Marta Cavazza γράφει ^[9]_ Σε αντίθεση με άλλες λόγιες γυναίκες της εποχής της, η Λάουρα δεν όφειλε στον σύζυγό της, ο οποίος είχε πτυχίο ιατρικής, τη φιλοσοφική και επιστημονική της μόρφωση ή ακόμη και την καριέρα της. Αντίθετα, όταν παντρεύτηκαν, οι γνώσεις της στα μαθηματικά ήταν πολύ μεγαλύτερες και πολύ πιο σύγχρονες από τις δικές του, αφού τις είχε αποκτήσει από τη σχολή του Gabriele Manfredi, ενός από τους Ιταλούς πρωτοπόρους του απειροστικού λογισμού. ... Οι γνώσεις της για τη λογοτεχνική κουλτούρα, δλδ ελληνικά,  λατινικά και γαλλικά, εκτός _φυσικά από τα ιταλικά, ήταν επίσης μεγαλύτερες από τις δικές του και συνέθεσε περιστασιακά πολύτιμους στίχους με τον αρκαδικό τρόπο. Έτσι, όλες οι απαραίτητες προϋποθέσεις για μια σχέση μεταξύ ισότιμων συντρόφων, όσον αφορά την οικογενειακή ζωή και την επιστημονική συνεργασία, υπήρχαν στη ζωή του ζεύγους Bassi-Veratti. Αυτό δεν ήταν μόνο ασυνήθιστο αλλά σχεδόν αδιανόητο στο κοινωνικό, νομικό και πολιτιστικό πλαίσιο του 18^ου αιώνα, πολύ λιγότερο στο Ποντιφικό Κράτος.

Παρά το γεγονός ότι έγινε Laura Veratti σε αυτό το στάδιο, έμεινε γνωστή με το όνομα Bassi και θα συνεχίσουμε να το χρησιμοποιούμε. Ο γάμος θεωρήθηκε λανθασμένος από πολλούς στη Μπολόνια που ένιωσαν ότι, στο ίδιο πνεύμα που οι υπότροφοι στα κολέγια του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ δεν μπορούσαν να παντρευτούν και να συνεχίσουν να έχουν τις υποτροφίες τους, η Bassi δεν έπρεπε να παντρευτεί και να συνεχίσει να κατέχει θέση. Στην πραγματικότητα, η θέση της δεν ήταν το μόνο που φαινόταν, γιατί της επέτρεπε να δίνει διαλέξεις μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, όταν η διάλεξη ήταν ανοιχτή στο κοινό, όταν όλοι, συμπεριλαμβανομένων των γυναικών, μπορούσαν να παρευρεθούν. Δεν της είχαν επιτραπεί να δώσει διαλέξεις σε κανονικά μαθήματα στο πανεπιστήμιο όπου οι φοιτητές θα ήταν όλοι άνδρες. Στην πραγματικότητα, ο γάμος βελτίωσε αυτή τη δύσκολη κατάσταση, γιατί η Bassi είχε πλέον τη δυνατότητα να κάνει διαλέξεις στο σπίτι της. Γάμος σκοπιμότητας λοιπόν, αλλά και επίσης σαρκικής απόλαυσης, όπως σημειώνουν έγκριτοι αναλυτές «με τον μισογύνη να κρατάει μαστίγιο και καρότο»

12 Παιδιά

Το 1739 ζήτησε από το Πανεπιστήμιο της Μπολόνια να αυξήσει τα διδακτικά της καθήκοντα αλλά, παρά την υποστήριξη από τον Lambertini και τον Flamino Scarselli, ο γραμματέας στην παπική αυλή, το μόνο που της χορήγησε ήταν κάποια χρήματα για εξοπλισμό για τη διεξαγωγή πειραμάτων φυσικής στο σπίτι της. Για αρκετά χρόνια μετά τον γάμο της, η Bassi έπρεπε να μοιράζει τον χρόνο της μεταξύ των ακαδημαϊκών σπουδών και της φροντίδας των _πολλών μικρών παιδιών της. Μερικές πηγές αναφέρουν ότι είχαν δώδεκα, αλλά φαίνεται πιο πιθανό ότι ο πραγματικός αριθμός ήταν εννέα. Όσα παιδιά κι αν είχαν, μόνο πέντε ενηλικιώθηκαν. Από αυτούς ήταν τέσσερις γιοι _Ciro, Paolo, Giovanni Francesco και Giacomo. Ο Πάολο (1753-1831) έγινε γιατρός και πειραματικός φυσικός ενώ ο Τζιάκομο (1749-1818) και ο Τζιοβάνι Φραντσέσκο (1738-1800) έγιναν «κανόνες» _μια διεθνής κοινότητα κανόνων τακτικής, που περιλαμβάνει ιερείς και λαϊκούς αδελφούς, στην Καθολική Εκκλησία. Λίγα είναι γνωστά για την καριέρα του Ciro (1744-1827). Η μοναδική τους επιζήσασα κόρη, Κατερίνα (1750-1768), έγινε μοναχή αλλά πέθανε σε ηλικία δεκαοκτώ ετών. Τρία κορίτσια με το όνομα Κατερίνα είχαν γεννηθεί το 1739, το 1742 και το 1745 αλλά είχαν πεθάνει στη γέννησή τους. Το μόνο αγόρι που πέθανε ως μωρό ήταν ο Φλαμίνιο που γεννήθηκε και πέθανε το 1751.
Το 1740, ο καρδινάλιος Lambertini εξελέγη για να διαδεχθεί τον Πάπα Κλήμη XII και έγινε ο Πάπας Βενέδικτος XIV. Αυτό σήμαινε ότι η Bassi είχε πολύ λιγότερη πρόσβαση στον προστάτη της, αλλά παρόλα αυτά μπορούσε να επικοινωνήσει μαζί του μέσω τρίτων. Ωστόσο, η ύπαρξη ενός πάπα που ήταν σθεναρός υποστηρικτής της επιστήμης και της ευρυμάθειας οδήγησε σε σημαντικές εξελίξεις στη χώρα. Μία από τις ιδέες του Πάπα Βενέδικτου XIV για τη βελτίωση του επιπέδου της επιστημονικής έρευνας ήταν η δημιουργία μιας κοινωνίας που ονομαζόταν Benedettini _Βενεδικτίνοι. Ο Πάπας επέλεξε 24 επιστήμονες για να σχηματίσουν τους Βενεδικτίνους και όρισε ότι έπρεπε να του υποβάλλουν ένα έγγραφο το χρόνο. Η Bassi Μπάσι προσπάθησε να πείσει τον πάπα να την ορίσει ως την 25^η Benedettin(a). Αυτή ήταν μια δύσκολη απόφαση, καθώς κάποιοι από τους είκοσι τέσσερις που είχαν ήδη διοριστεί ήταν αντίθετοι με την ένταξη της Bassi στην επίλεκτη ομάδα, ενώ άλλοι την υποστήριξαν. Στο τέλος ο Βενέδικτος 14^ος προχώρησε σε μια συμβιβαστική λύση ορίζοντας την Bassi ως την 25^η, αλλά χωρίς να της δώσει τα ίδια δικαιώματα ψήφου με τους άλλους.

Η υψηλή εκτίμηση στην οποία είχε η Bassi κατά τη διάρκεια της ζωής της είναι πολύ εμφανής από τα γραπτά όσων τη γνώριζαν. Ας δώσουμε ένα απόσπασμα για να το καταδείξουμε αυτό. Ο Βολταίρος της  έγραψε το 1744 (βλ., για παράδειγμα, ^[26]__ Τιμώμενη Κυρία: Θα ήθελα να επισκεφτώ τη Μπολόνια για να πω στους συμπολίτες μου ότι έχω δει τη Signora Bassi, αλλά, στερημένος αυτής της τιμής, πιστεύω ότι μπορώ με δικαιοσύνη να ρίξω στα πόδια σας αυτόν τον φιλοσοφικό φόρο τιμής σεβόμενος τη δόξα του αιώνα και το φύλο της. Καθώς δεν υπάρχει Bassi στο Λονδίνο, θα έπρεπε να μπω πιο ευχάριστα στην Ακαδημία σας της Μπολόνια παρά στην Αγγλική, παρόλο που μπορεί να παρήγαγε έναν Νεύτωνα.

Γύρω στο 1749 άρχισε να δίνει μαθήματα στο σπίτι της. Έγραψε στον Scarselli το 1755 (πχ. ^[26]) __ Έχουν περάσει έξι χρόνια από τότε που άρχισα να δίνω ιδιωτικά μαθήματα φυσικής στο σπίτι μου καθημερινά, για οκτώ μήνες το χρόνο. Αυτά τα υποστηρίζω εγώ, πληρώνω για όλο τον απαραίτητο εξοπλισμό, εκτός από αυτόν που είχε φτιάξει ο σύζυγός μου όταν έδινε διάλεξη φιλοσοφίας. Τα μαθήματα έχουν συγκεντρώσει τέτοια δυναμική που πλέον τα παρακολουθούν άτομα με σημαντική εκπαίδευση, συμπεριλαμβανομένων αλλοδαπών και λιγότεροι νέοι.

Η βασική συνεισφορά της Bassi έγινε στη φυσική, αν και έγραψε εργασίες για μια σειρά από άλλα επιστημονικά θέματα, συμπεριλαμβανομένων δύο μαθηματικών εργασιών. Αυτή ήταν μια εποχή που η φυσική ήταν ακόμα διχασμένη μεταξύ των απόψεων του Descartes και εκείνων του Newton. Όπως αναφέραμε παραπάνω, η Bassi ήταν ένθερμη υποστηρικτής του Newton και οι διαλέξεις της είχαν σχεδιαστεί για να μυήσουν τους μαθητές της στη Νευτώνεια φυσική. Από τις 28 εργασίες της στην Ακαδημία Επιστημών της Μπολόνια στη Μπολόνια, οι δεκατρείς αφορούν τη φυσική, έντεκα για την υδραυλική, δύο είναι για τα μαθηματικά, μία για τη μηχανική, μία για την τεχνολογία και μία για τη χημεία. Αυτό είναι ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα, αν και θα έπρεπε να πει κανείς ότι περιέχουν λίγα που είναι πρωτότυπα. Σύμφωνα με τους όρους των Benedettini, υπέβαλλε μια εργασία κάθε χρόνο, με τις τρεις πρώτες να είναι: __Σχετικά με τη συμπίεση του αέρα (1746) __Στις φυσαλίδες που παρατηρούνται σε ελεύθερα ρέοντα υγρά (1747) και __Περί φυσαλίδων αέρα που διαφεύγουν από υγρά (1748). Αν και πολλές από τις εργασίες της παραμένουν σε χειρόγραφο, χωρίς να έχουν δημοσιευθεί ποτέ, μία από αυτές σχετικά με τη μηχανική De problemate quodam mechanico Ⓣ και μία για την υδραυλική De problemate quodam hydrometrico Ⓣ δημοσιεύτηκαν στα Σχόλια του Ινστιτούτου της Μπολόνια το 1757. Η G B Logan _ βλ. American Historical Review 1994 _ 99:785-812. γράφει για αυτά ^[39]. Για το πρόβλημα της μηχανικής γράφει: Σε αυτό το άρθρο, η Bassi χρησιμοποίησε διαφορικό λογισμό για να προσδιορίσει την κίνηση του κέντρου μάζας δύο ή περισσότερων σωμάτων που κινούνται κατά μήκος οποιωνδήποτε καμπύλων μονοπατιών σε ένα επίπεδο. Αν η κίνηση των δύο σωμάτων ήταν ευθύγραμμη και όχι καμπυλόγραμμη, έρχεται αντιμέτωπη με την περίπτωση που δηλώνει ο Νεύτων στο «Principia Mathematica» του... Αυτό το έργο της Bassi σηματοδοτεί την αρχή μιας τάσης στις διατριβές σχετικά με την κλασική μηχανική που δίνονται στην Ακαδημία.

Σχετικά με το πρόβλημα της υδρομετρίας,  γράφηκε: Ένας τεχνικός, γνωρίζοντας τις διαστάσεις και τις θέσεις δύο ή περισσότερων ανοιγμάτων σε ένα κανάλι, θα μπορούσε να υπολογίσει τη θέση και το μέγεθος ενός άλλου ανοίγματος παρόμοιου σχήματος κάτω από το νερό, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που καθιέρωσαν οι Guglielmini και Zedrini, οι οποίοι υπολόγισαν τη μέση ταχύτητα και ποσότητα νερού που διέρχεται από αυτές τις τρύπες. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος, η οποία οδήγησε σε μια εξίσωση με δύο άγνωστουw, απαιτούσε κάποια απλοποίηση. Αυτή η απλοποίηση δόθηκε από την Bassi όταν μείωσε την εξίσωση σε έναν άγνωστο |Χ|με την αναλυτική μέθοδο.

Περιέργως, το κύριο θέμα στο οποίο η Bassi ανέλαβε πειραματική εργασία ήταν ο ηλεκτρισμός, ωστόσο δεν έγραψε ποτέ κάτι για το θέμα. Σε ένα καλά εξοπλισμένο εργαστήριο στο σπίτι της, συνεργάστηκε με τον σύζυγό της σε ιατρικές χρήσεις του ηλεκτρισμού. Η Monique Frize γράφει ^[34]: Αρκετοί διάσημοι άνδρες επισκέφτηκαν το εργαστήριο που ίδρυσε το ζεύγος Bassi-Veratti στο σπίτι τους. Μερικοί επισκέπτες ήθελαν να δουν πειράματα που έγιναν από τη Laura ή τον Giuseppe, άλλες φορές έκαναν πειράματα με το ζευγάρι σε ενδιαφέροντα προβλήματα της ημέρας. Η Λόρα συζήτησε με άνδρες για πολλές από τις ιδέες που είχαν πρωταρχικό ενδιαφέρον στην εποχή της, ειδικά εκείνες που αφορούσαν τις θεωρίες του ηλεκτρισμού, των αερίων και του νερού. Ο Giuseppe μελέτησε την πιθανή θεραπευτική επίδραση του ηλεκτρισμού στα ζώα και στο ανθρώπινο σώμα

Η μεγαλύτερη τιμή που δόθηκε στην Bassi ήταν το 1776 όταν διορίστηκε στην Έδρα της Πειραματικής Φυσικής στη Μπολόνια. Δεν το κατάφερε εύκολα, αλλά μόνο μετά από μια μακρά συζήτηση συμφώνησε το Πανεπιστήμιο να την διορίσει. Αυτό είχε πράγματι ως συνέπεια ο σύζυγος της να γίνει πλέον επίσημα βοηθός της. Η Μπάσι έγινε η πρώτη γυναίκα που διορίστηκε σε έδρα φυσικής σε οποιοδήποτε πανεπιστήμιο στον κόσμο. Ήταν ένα κατάλληλο σημείο κορυφής για την καριέρα της, αλλά δυστυχώς δεν έζησε πολύ για να απολαύσει τη θέση γιατί πέθανε λίγο περισσότερο από ένα χρόνο αργότερα. Ο σύζυγός της διορίστηκε στην Έδρα Πειραματικής Φυσικής στη Μπολόνια μετά τον θάνατο της.

           Τίτλοι τέλους

Ο θάνατος της Bassi ήταν αιφνίδιος και περιγράφηκε τότε ως «προσβολή στο στήθος» που μπορεί να υποδηλώνει καρδιακή προσβολή, αλλά είναι πιθανές και άλλες αιτίες. Ασημένιες δάφνες τοποθετήθηκαν στο κεφάλι της για την κηδεία της και, συνοδευόμενη από τα μέλη της Benedettina, η σορός της μεταφέρθηκε στην εκκλησία του Corpus Domini όπου και ετάφη.

Η Paula Findlen γράφει ^[28]: Ο θάνατος της Bassi, όπως και τόσες πολλές πτυχές της ζωής της, δεν πέρασε απαρατήρητος. Εκτός από τα πολυάριθμα εγκώμια που δόθηκαν προς τιμήν της από μέλη της λόγιας κοινότητας, στη Μπολόνια και αλλού, γραπτές ανακοινώσεις για τα επιτεύγματά της εμφανίστηκαν στα περιοδικά που εξυπηρετούν τη Δημοκρατία των Γραμμάτων. Στη Μπολόνια, το Ινστιτούτο δημιούργησε μια επιτροπή για να κρίνει έναν διαγωνισμό για ένα μνημείο για το πιο διάσημο γυναικείο μέλος του. Μέχρι το 1781, οι συζητήσεις ολοκληρώθηκαν, οι εργασίες για ένα μαρμάρινο άγαλμα αποφασίστηκε και η Bassi τοποθετήθηκε σε περίοπτη θέση του Ναυτικού χώρου στο Ινστιτούτο, μαζί με πολλά από τα αγαπημένα της μοντέλα πλοίων. Κατά τη διάρκεια της ζωής της, υπενθύμιζε συνεχώς στους συναδέλφους της ότι δεν ήταν απλώς μια φυσιογνωμία, αλλά μια ασκούμενη πειραματική φιλόσοφος που ήθελε να διδάξει αλλά και να κάνει έρευνα. Είχε αγωνιστεί πολύ και σκληρά για να επεκτείνει τον ρόλο της πέρα ​​από τις τελετουργικές λειτουργίες της, κερδίζοντας σεβασμό, θαυμασμό και, το πιο σημαντικό,  υποστήριξη πολλών συγχρόνων της _και όχι μόνο. Ο θάνατος την υποβίβασε για άλλη μια φορά σε τελετουργική θέση. Σε μάρμαρο, τοποθετημένη ψηλά πάνω από τις πόρτες από τις οποίες περνούσαν τα μέλη του Ινστιτούτου, ανέκτησε τον ρόλο της ως επιστημονικής μούσας. Χαμογελώντας ευγενικά στους πρώην συναδέλφους και θαμμένη φορώντας το ασημένιο στεφάνι της δάφνης, η Bassi μπήκε ξανά στο βασίλειο της μυθολογίας από το οποίο είχε αναδυθεί.

Ας τελειώσουμε παραθέτοντας από τον Alberto Elena ^[26] ... ήταν μια προσωπικότητα με τη μεγαλύτερη σημασία στην πνευματικά ακμάζουσα Μπολόνια του 18^ου αιώνα και μια από τις κορυφαίες προσωπικότητες στον εγκλιματισμό της νευτώνειας φυσικής φιλοσοφίας στα ιταλικά κράτη. Αν και δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ίδια η πόλη τόνισε τη φήμη της για να προωθήσει τη δόξα της, τα λίγα που γνωρίζουμε για τις φυσικές της έρευνες και τη νευτώνεια δέσμευσή της είναι αρκετά για να καταστήσουν σαφές ότι της αξίζει μια θέση στην ιστορία της επιστήμης.

·       Αναφορές
·       Παραπομπές